题目内容
(本小题满分14分)设b>0，椭圆方程为
，抛物线方程为
.如图4所示,过点F(0,b+2)作x轴的平行线，与抛物线在
第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经
过椭圆的右焦点
.
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
(2)设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在
抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？
若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由
（不必具体求出这些点的坐标）.
满足条件的椭圆方程和抛物线方程分别为
和
4个
解析:
(1)解方程组
得
,
所以点G的坐标为G(4,b+2)，
由
，得
，求导数得
，
于是，抛物线在点G的切线l的斜率为
，
又椭圆
中
，即c=b,所以椭圆的右焦点为
（b,0）
由切线l过点，可知
，解得b=1.
所以满足条件的椭圆方程和抛物线方程分别为
和
(2) 在抛物线上存在点P，使得△ABP为直角三角形。且这样的点有4个。
证明：分别过点A、B做y轴的平行线，交抛物线于M，N点，则∠MAB=90O，∠NBA=90O，
显然M，N在抛物线上，且使得△ABM，△ABN为直角三角形。
设抛物线的顶点为D，则点|OD|=1，又|OA|=|OB|=
，显然∠ADB>90O.
所以，在抛物线上位于点D、M和点D、N之间，一定分别存在一个点P，使得∠APB=90O.
综上所述, 满足条件的点共有4个。
练习册系列答案
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=2，点（
）在函数
的图像上，其中
=
.
}是等比数列；
，求
及数列{
}的通项公式；
，求数列{
}的前n项和
，并证明
.
天(
)的销售价格(单位：元)为
，第
，已知该商品成本为每件25元.
关于第
的图像在点
处的切线与直线
平行.
，
满足的关系式；
上恒成立，求
（
）