Question

3．如图：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为D₁C₁，B₁C₁的中点，AC∩BD=P，A₁C₁∩EF=Q，直线A₁C与平面BDEF的交点为R．
（1）证明：B，D，F，E四点共面；
（2）证明：P，Q，R三点共线；
（3）证明：DE，BF，CC₁三线共点．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出EF∥BD，由此能证明D、B、F、E四点共面．?
（2）设A₁ACC₁确定的平面为α，设平面BDEF为β，由已知条件推导出P、Q、R是α与β的公共点，由此能证明P、Q、R三点共线．
（3）由已知得DE与BF一定相交，平面BCC₁B₁∩平面DCC₁D₁=CC₁，由此能证明DE，BF，CC₁三线共点．

解答 证明：（1）∵EF是△D₁B₁C₁的中位线，∴EF∥B₁D₁．?
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁D₁$\underset{∥}{=}$BD，∴EF∥BD．?
∴EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面．?
（2）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设A₁ACC₁确定的平面为α，
又设平面BDEF为β，∵Q∈A₁C₁，∴Q∈α．?
又Q∈EF，∴Q∈β．?
则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α和β的公共点，∴α∩β=PQ．?
又A₁C∩β=R，∴R∈A₁C．?
∴R∈α且R∈β．则R∈PQ．?
故P、Q、R三点共线．
（3）∵EF∥BD，且EF≠BD，
∴DE与BF一定相交，设交点为M，
∵BF?平面BCC₁B₁，DE?平面DCC₁D₁，且平面BCC₁B₁∩平面DCC₁D₁=CC₁，
∴M∈CC₁，
∴DE，BF，CC₁三线共点．

点评 本题考查了学生的识图能力及平行性的证明与应用，同时考查了三点共线的证明方法，属于中档题