Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=（1-a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式，并比较s_n与的大小；
（Ⅱ）设函数，令b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），求数列的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据a_n=S_n-S_n-1，代入题设，整理得=进而可知数列{a_n}为等比数列，公比是，再根据S₁=a₁求得a₁，进而根据等比数列的通项公式求得a_n，把a_n代入S_n=（1-a_n）中得（1-（）ⁿ），根据1-（）ⁿ＜1，答案可得．
（2）把a_n代入b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），化简整理求得b_n，进而可得，最后用裂项法求得T_n．
解答：解：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=（1-a_n）-（1-a_n-1）=-a_n+a_n-1，
2a_n=-a_n+a_n-1，．∴=，由S₁=a₁=（1-a₁）得a₁=
∴数列{a_n}是首项a₁=公比为的等比数列
a_n=×（）^n-1=（）ⁿ．
由S_n=（1-a_n）=（1-（）ⁿ）
∵1-（）ⁿ＜1
∴（1-（）ⁿ）＜
∴s_n＜
（Ⅱ），
∴b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=（a₁a2_…a_n）
=（）^1+2+…n=．
∴==2（-）
∴T_n=2[（1-）+（-）+…+（-）]=．
点评：本题主要考查了数列的递推式．考查了用裂项法对数列进行求和．