题目内容
已知A（-1，0），B（1，0），P是圆C：（x-3）2+（y-4）2=4上的任意一点，则|PA|2+|PB|2的最大值与最小值各位多少（ ）
分析：先根据A，B的坐标分别表示出|OA|和|OB|，进而可求得
+
和
•
的值，进而根据中点公式求得
+
=2
，进而求得|
|2+|
|2的表达式，同时根据点P在圆上求得
和
，进而根据|
|-|
|≤|
|=|
+
|≤|
|+|
|求得
的范围，进而求得|
|2+|
|2的最大值和最小值
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| PA |
| PB |
| PO |
| PA |
| PB |
| OC |
| OP |
| OC |
| CP |
| OP |
| OC |
| CP |
| OC |
| CP |
| OP |
| PA |
| PB |
解答：
解：设已知圆的圆心为C，由已知可得
=（-1，0），
=（1，0），
∴
+
=0，
•
=-1，又由中点公式得
+
=2
，
所以|
|2+|
|2=（
+
）2-2•
•
=（2
）2-2（
-
）•（
-
）
=4|
|2-2
•
-2|
|2+2
•(
+
)）=2|
|2+2，
又因为
=（3，4）点P在圆（x-3）2+（y-4）2=4上，
所以|
|=5，|
|=2，且
=
+
，
所以|
|-|
|≤|
|=|
+
|≤|
|+|
|，
即3≤|
|≤7，故20≤|
|2+|
|2=2|
|2+2≤100，
所以|PA|2+|PB|2的最大值为100，最小值为20．
解：设已知圆的圆心为C，由已知可得| OA |
| OB |
∴
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| PA |
| PB |
| PO |
所以|
| PA |
| PB |
| PA |
| PB |
| PA |
| PB |
| PO |
| OA |
| OP |
| OB |
| OP |
=4|
| PO |
| OA |
| OB |
| OP |
| OP |
| OA |
| OB |
| OP |
又因为
| OC |
所以|
| OC |
| CP |
| OP |
| OC |
| CP |
所以|
| OC |
| CP |
| OP |
| OC |
| CP |
| OC |
| CP |
即3≤|
| OP |
| PA |
| PB |
| OP |
所以|PA|2+|PB|2的最大值为100，最小值为20．
点评：本题主要考查了圆的方程的综合运用和向量的基本计算．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
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