Question

已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，点A，B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点E（3，0），设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EP⊥EQ，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用离心率为得到关于a，b，c之间的关系，再结合点O到直线AB的距离为，即可求出a，b，c，进而得到椭圆C的标准方程；
（2）先利用EP⊥EQ把所求问题转化为，再利用点P在抛物线上，利用抛物线上的点的范围限制即可求出的取值范围．
解答：解：（1）由离心率，得∴a=2b①
∵原点O到直线AB的距离为
∴②，
将①代入②，得b²=9，∴a²=36
则椭圆C的标准方程为
（2）∵EP⊥EQ∴
∴
设P（x，y），则，即
∴
∵-6≤x≤6，∴
则的取值范围为[6，81]．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．解决第一问的关键是利用条件列出关于a，b，c之间的方程．