Question

12．已知函数f（x）=x+sinx，且对于任意的x∈[2，4]，不等式f（$\frac{x+1}{x-1}$）＜f（$\frac{m}{（x-1）^{2}（7-x）}$）恒成立，则m的取值范围为（45，+∞）．

Answer 1

分析 利用导数可得函数为增函数，把要求解的不等式转化为$\frac{x+1}{x-1}$＜$\frac{m}{（x-1）^{2}（7-x）}$在[2，4]恒成立，分离变量m后再利用导数求得函数的最大值，则实数m的取值范围可求．

解答 解：由于函数f（x）=x+sinx，
f′（x）=1+cosx≥0恒成立，
即有f（x）为R上的增函数，
∵对于任意的x∈[2，4]，不等式f（$\frac{x+1}{x-1}$）＜f（$\frac{m}{（x-1）^{2}（7-x）}$）恒成立，
∴$\frac{x+1}{x-1}$＜$\frac{m}{（x-1）^{2}（7-x）}$在[2，4]恒成立，
∵x∈[2，4]，
∴m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立．
设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]，
则g（x）=-x³+7x²+x-7，
∴g′（x）=-3x²+14x+1=-3（x-$\frac{7}{3}$）²+$\frac{52}{3}$，
∴当x∈[2，4]时，g′（x）＞0．
∴y=g（x）在[2，4]上是增函数，g（x）_max=g（4）=45．
综上知符合条件的m的取值范围是（45，+∞）．
故答案为：（45，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用函数的单调性的性质求解不等式，体现了数学值思想方法，属于中档题．