Question

【题目】已知函数.

（1）若时，函数的图像恒在直线上方，求实数的取值范围；

（2）证明：当时，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先由题意得到当时，恒成立，即恒成立，再令，，用导函数方法研究其单调性，得到其最值，即可得出结果；

（2）根据数学归纳法的一般步骤，结合（1）的结果，即可证明结论成立.

（1）当时，函数的图像恒在直线上方，

等价于当时，恒成立，

即恒成立，

令，，则

当时，，故在上递增，

当时，，故在上递减，

∴为在区间上的极小值，仅有个极值点故为最小值，

∴时，

所以实数的取值范围是 ；

（2）证明：

①当时，由，知成立；

②假设当时命题成立，即

那么，当时，

下面利用分析法证明：

要证上式成立，只需证：

只需证：

令，只需证：，

只需证：，

由（1）知当时，恒成立.

所以，当时，也成立，

由①②可知，原不等式成立.