Question

以F₁（-1，0）、F₂（1，0）为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是 ______．

Answer 1

由题意知，c=1，a²-b²=1，故可设椭圆的方程为

x2

b2+1

+

y2

b2

=1，
离心率的平方为

1

b2+1

   ①，∵直线x-y+3=0与椭圆有公共点，将直线方程代入椭圆方程得
（2b²+1）x²+6（b²+1）x+8b²+9-b⁴=0，由△=36（b⁴+2b²+1）-4（2b²+1）（ 8b²+9-b⁴ ）≥0，
∴b⁴-3b²-4≥0，∴b²≥4，或 b²≤-1 （舍去），∴b² 的最小值为4，
∴①的最大值为

1

5

，此时，a²=b²+1=5，
∴离心率最大的椭圆方程是

x2

5

+

y2

4

=1，
故答案为：

x2

5

+

y2

4

=1．