Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（

θ

2

+

π

6

）=1，θ∈（0，

π

2

），求cos（θ-

π

4

）．

Answer 1

分析：（1）由图象知A=2，由周期的四分之一为

5π

12

-

π

6

可得ω，再将点（

π

6

，2）代入f（x）的解析式得φ的值，进而可得；（2）由解析式结合条件化简可得cosθ的值，结合θ的范围由平方关系可得sinθ，代入两角差的余弦公式可得．

解答：解：（1）由图象知A=2，周期的四分之一为

5π

12

-

π

6

，
∴

2π

4ω

=

5π

12

-

π

6

=

π

4

，解得ω=2，
将点（

π

6

，2）代入f（x）的解析式得sin（

π

3

+φ）=1，
结合|φ|＜

π

2

可得φ=

π

6

故函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+

π

6

）
（2）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∴f（

θ

2

+

π

6

）=2sin[2（

θ

2

+

π

6

）+

π

6

]=2sin（θ+

π

2

）=2cosθ=1，
∴cosθ=

1

2

，又θ∈（0，

π

2

），
∴sinθ=

3

2

，
∴cos（θ-

π

4

）=cosθcos

π

4

+sinθsin

π

4

=

6 + 2

4

点评：本题考查由三角函数的图象求解析式，涉及两角和与差的三角函数公式，属中档题．