Question

如图，侧棱垂直底面的三棱柱中，，，，是侧棱上的动点．

　　　　

       （Ⅰ）当时，求证：；

       （Ⅱ）试求三棱锥的体积取得最大值时的值；

       （Ⅲ）若二面角的平面角的余弦值为，试求实数的值．

 

Answer 1

解：（Ⅰ）证法一：∵面，∴，．

又∵，∴四边形是正方形，

∴．   ………1分

∵，

∴．    ………2分

又∵,  ∴．  ………3分

∵,

∴．   ………4分

证法二：∵面，∴，．

又∵，

∴分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系．……1分

则，

，

∴，  …2分

　∴． …3分

又∵

∴．   …4分

证法三：∵面，∴，．

又∵，

∴分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系．……1分

则,

．

　设平面的法向量，

则，解得．

　令，则，    ……3分

∵,    ∴．    ……4分

（Ⅱ）∵，

∴点到平面的距离等于点到平面的距离

∴,  …5分

　　　　，

　　　令，得（舍去）或，

列表，得

		1
	+	0	－
	递增	极大值	递减

∴当时，．   …8分

（Ⅲ）分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系．

则,

，

，．   ……9分

　设平面的法向量，

则，解得,

　令，则．   …10分

　设平面的法向量，

则．

由于，所以解得．

令，则．  …11分

设二面角的平面角为，

则有．

       化简得,解得（舍去）或．

       所以当时，二面角的平面角的余弦值为．  …13分