Question

已知函数f（x）=x²-2alnx，a∈R
（1）讨论f（x）单调区间；
（2）当a=

1

2

时，证明：当x≥1时，证明：f（x）≥x．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，再进行分类讨论：a≤0，a＞0时，利用f′（x）＞0确定函数f（x）的单调增区间；f′（x）＜0确定函数f（x）的单调减区间；
（2）当a=

1

2

时，g（x）=f（x）-x=x²-lnx-x，由于x≥1，则g′（x）=2x-

1

x

-1=

2x2-x-1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

≥0，则g（x）≥g（1）=0，即得证．

解答：解：（1）f′（x）=2x-

2a

x

=

2x2-2a

x

，
当a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数；
当a＞0时，令f′（x）＞0得x＞

a

，∴f（x）在（

a

，+∞）上为增函数；
令f′（x）＜0得0＜x＜

a

，∴f（x）在（0，

a

）上为减函数，
综上：当a≤0时，f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；
当a＞0时，f（x）的增区间为（

a

，+∞），减区间为（0，

a

）．
（2）当a=

1

2

时，g（x）=f（x）-x=x²-lnx-x，
g′（x）=2x-

1

x

-1=

2x2-x-1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

，
当x≥1时，2x+1≥0，x-1≥0，则g′（x）≥0，
故当x≥1时，g（x）为增函数，则g（x）≥g（1）=0，
则f（x）≥x．

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的单调性及恒成立问题的处理，关键是分离参数，借助于函数的最值，求得参数的范围．