Question

【题目】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（1）求∠C；
（2）若c= ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长；
（3）若c= ，求△ABC的周长的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： 2cosC（acosB+bcosA）=c．

由正弦定理：可得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC

即2cosCsinC=sinC

∵0＜C＜π，sinC≠0，

∴cosC=

∴C= ．

（2）由△ABC的面积为 ，即 absinC= ，

∵C= ．

∴ab=6．

由c= ，余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC．

可得：a2+b2﹣ab=7．

即（a+b）2=7+3ab=25．

∴a+b=5．

那么△ABC的周长为：a+b+c=5 ．

（3）∵c= ，C= ．

正弦定理：a= ，b=

△ABC的周长：a+b+c=2sinA+2sinB+ ．

∵C= ，A+B+C=π

∴B= ．

则a+b=2sinA+2sinB=2sinA+2sin（ ）=3sinA+ cosA=2 sin（A+ ）

∵0＜A ，

∴ ＜A+ ，

∴ ＜2 sin（A+ ） ．

即 ＜a+b

∴△ABC的周长的取值范围为：（2 ，4 ]．

【解析】1、由正弦定理：可得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，∵0＜C＜π，sinC≠0，∴cosC= ∴C= ．
2、由△ABC的面积为 ，即 可得ab=6．由c= ，余弦定理可得a+b=5，所以△ABC的周长为：a+b+c=5 + 。
3、根据题意由正玄定理可得，ABC的周长：a+b+c=2sinA+2sinB+ ，∵C= ，A+B+C=π ，∴B= A 得到a+b=2sinA+2sinB=2sinA+2sin=3sinA+ cosA=2 sin.∵0＜A < ,∴ ＜A+ < ,即 ＜a+b ≤ 2,得到△ABC的周长的取值范围为：（2 ，4 ]．

【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:，以及对余弦定理的定义的理解，了解余弦定理:;;．