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已知椭圆C：（m＞0），经过其右焦点F且以=（1，1）为方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆C于N点。
（1）证明：；
（2）求的值。
解：（1）∵，
∴
∴
∵直线l过焦点且与向量平行
∴直线l的方程为：
将其代入椭圆C的方程，并整理可得：  ①
设，，，
∵M是线段AB的中点，在方程①中由韦达定理，可得：
 ，
∴
设为OM延长线上的点，且M为O的中点，则，
且四边形OAB为平行四边形
将的坐标代入椭圆C方程的左端并化简得
∴点在椭圆C上，与N点重合
∴四边形OANB为平行四边形
于是。
（2）
在方程①中由韦达定理，得
∴

∴。
练习册系列答案
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已知椭圆C过点M(1，
6
2
)，F(-
2
，0)是椭圆的左焦点，P、Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A．
精英家教网如图，已知椭圆C过点M（2，1），两个焦点分别为(-
6
，0)、(
6
，0)，O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）试问直线MA、MB的斜率之和是否为定值，若为定值，求出以线段AB为直径且过点M的圆的方程；若不存在，说明理由．
（2013•临沂三模）已知椭圆C经过点M(1，
32
)，其左顶点为N，两个焦点为（-1，0），（1，0），平行于MN的直线l交椭圆于A，B两个不同的点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．
已知椭圆C经过点M（1，
32
），两个焦点是F1（-1，0）和F2（1，0）
（I）求椭圆C的方程；
（II）若A、B为椭圆C的左、右顶点，P是椭圆C上异于A、B的动点，直线AP 与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，求证：以BD为直径的圆与直线的圆与直线PF2相切．

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