Question

已知椭圆C经过点M（1，

3

2

），两个焦点是F₁（-1，0）和F₂（1，0）
（I）求椭圆C的方程；
（II）若A、B为椭圆C的左、右顶点，P是椭圆C上异于A、B的动点，直线AP 与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，求证：以BD为直径的圆与直线的圆与直线PF₂相切．

Answer 1

分析：（I）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），求出M到焦点的距离，利用椭圆的定义，即可求得椭圆C的方程；
（II）设直线AP的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，求得P的坐标，分类讨论，证明圆心E到直线PF₂的距离等于半径，即可求得结论．

解答：（I）解：设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵M（1，

3

2

），两个焦点是F₁（-1，0）和F₂（1，0）
∴|MF₁|=

5

2

，|MF2|=

3

2

∴2a=|MF₁|+|MF₂|=4
∴a=2
∴b=

a2-c2

=

3

∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）证明：由题意，A（-2，0），B（2，0），设直线AP：y=k（x+2）（k≠0），则D（2，4k），|BD|=4|k|，BD中点E（2，2k），以BD为直径的圆E方程是（x-2）²+（y-4k）²=4k²，
直线方程代入椭圆方程，消去y可得（3+4k²）+16k2x+16k²-12=0
设P（x₀，y₀），则x0=

6-8k2

3+4k2

，y0=k(x0+2)=

12k

3+4k2

当直线PF₂⊥x轴时，∵F₂（1，0），∴x0=1，k=±

1

2

以BD为直径的圆（x-2）²+（y±1）²=1与直线PF₂相切；
当直线PF₂与x轴不垂直时，k≠±

1

2

，直线PF₂的斜率为

4k

1-4k2

，方程为4kx-（1-4k²）y-4k=0
圆心E到直线PF₂的距离为

|2k(1+4k2)|

(1+4k2)2

=2|k|
∴以BD为直径的圆与直线PF₂相切，
综上可得，以BD为直径的圆与直线的圆与直线PF₂相切．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，考查直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径的关系是关键．