题目内容
如图2-4-7，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于点E.
图2-4-7
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AB=6 cm，BC=4 cm，求AE的长.
思路分析：第（1）问中的全等已经具备了AB=AC，再利用弦切角定理与圆周角定理可以得角的相等关系；对于（2），则利用△BCE∽△ACB建立比例式，解方程获得AE的长.
（1）证明：∵XY是⊙O的切线，∴∠1=∠2.
∵BD∥XY，
∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.
∵∠3=∠4，∴∠2=∠4.
∵∠ABD=∠ACD，又∵AB=AC，∴△ABE≌△ACD.
（2）解：∵∠3=∠2，∠BCE=∠ACB，∴△BCE∽△ACB.
∴
.
∴AC·CE=BC2，即AC·(AC-AE)=BC2.
∵AB=AC=6，BC=4，∴6(6-AE)=16.
∴AE=
（cm）.
深化升华 本题利用平行线、弦切角、圆周角等进行了角的转换，利用相似建立方程求线段的长度，综合应用时，必须非常熟悉图形中的各个量，盯准要求的数值，向图形和已知索取条件.
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