Question

如图，三棱柱 ABC-A′B′C′中，P为AA′上一点，求 V_P-BB′C′C：V_{ABC-A′B′C′}．

Answer 1

分析：法一：求出设S_BB'C'C=S，AA'到平面BB'C'C的距离为h，把三棱柱ABC-A'B'C'接补成以DD'C'C和BB'C'C为相邻侧面的平行六面体，此平行六面体体积为原三棱柱体积的两倍．求出两部分的体积，即可得到比值．
法二：V_P-BB'C'C=V_ABC-A'B'C'-V_P-ABC-V_P-A'B'C'设S_△ABC=m，棱柱的高为n，则三棱柱的体积=m•n，然后求出体积，即可得到比值．

解答：解法一：设S_BB'C'C=S，AA'到平面BB'C'C的距离为h，则VP-BB′C′C=

1

3

Sh
把三棱柱ABC-A'B'C'接补成以DD'C'C和BB'C'C为相邻侧面的平行六面体，此平行六面体体积为原三棱柱体积的两倍．∵VABC-A′B′C′=

1

2

Sh∴

VP-BB′CC′

VABC-A′B′C′

=

1 3 Sh

1 2 Sh

=

2

3

解法二：V_P-BB'C'C=V_ABC-A'B'C'-V_P-ABC-V_P-A'B'C'设S_△ABC=m，棱柱的高为n，则三棱柱的体积=m•nV_P-BB'C'C=V_ABC-A'B'C'-V_P-ABC-V_P-A'B'C'=mn-

1

3

m•n（P到两底距离之和为n）=

2

3

mn
∴VP-AB′C′C：VABC-A′B′C′=

2

3

点评：把三棱柱接补成平行六面体是重要的变换方法，平行六面体的每一个面都可以当作柱体的底，有利于体积变换．考查计算能力．