题目内容

数列{a_n}满足a₁=1，且点 $数学公式$ 在函数y=x²+1的图象上
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设 $数学公式$ ，求数列{b_n}的通项公式；
（3）设数列{b_n}的前n项和为T_n，若T_n＜λa_n+1对一切n∈N^•都成立，求λ的取值范围．

解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=1，且点 $\text{[math]}$ 在函数y=x²+1的图象上，
∴a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∵a₁=1，
∴a_n=n；
（2）因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$
（3）由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
若T_n＜λa_n+1对一切n∈N^•都成立，即 $\text{[math]}$ ，n∈N^•恒成立，所以λ＞ $\text{[math]}$
而 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ）（当且仅当n=1时取等号）
所以 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据等差数列的定义，确定{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出等差数列的前n项和，利用 $\text{[math]}$ ，可求数列{b_n}的通项公式；
（3）裂项法求出数列{b_n}的前n项和为T_n，根据T_n＜λa_n+1对一切n∈N^•都成立，利用分离参数法，求出函数的最值，即可求得λ的取值范围．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，正确求和，利用分离参数法是解题的关键．