Question

已知函数f（x）=x+xlnx．
（1）求函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程；
（2）若k∈Z，且k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导函数，进一步得到f^′（1）的值，由直线方程的点斜式写出直线方程；
（2）把函数f（x）的解析式代入k（x-1）＜f（x），整理后得k＜

x•lnx+x

x-1

，问题转化为对任意x∈（1，+∞），k＜

x•lnx+x

x-1

恒成立，求正整数k的值．设函数g（x）=

x(lnx+1)

x-1

，求其导函数，得到其导函数的零点x₀位于（3，4）内，且知此零点为函数g（x）的最小值点，经求解知g（x₀）=x₀，从而得到k＜x₀，则正整数k的最大值可求．

解答：解：（1）因为函数f（x）=x+xlnx，所以f'（x）=lnx+2，所以f'（1）=2，
则函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；
（2）因为f（x）=x+xlnx，所以k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，
即k（x-1）＜x+xlnx，因为x＞1，
也就是k＜

x+xlnx

x-1

对任意x＞1恒成立．
令g(x)=

x+xlnx

x-1

，则g′(x)=

x-lnx-2

(x-1)2

，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），则h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＞0，
所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．
因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（3，4）．
当1＜x＜x₀时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x₀时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，
所以函数g(x)=

x+xlnx

x-1

在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．
所以[g(x)]min=g(x0)=

x0(1+inx0)

x0-1

=

x0(1+x0-2)

x0-1

=x0
[g(x)]min=g(x0)=

x0(1+lnx0)

x0-1

=

x0(1+x0-2)

x0-1

=x0∈(3，4)．
所以k＜[g（x）]_min=x₀
因为x₀∈（3，4）．故整数k的最大值是3．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了数学转化思想，解答此题的关键是，在求解（2）时如何求解函数g（x）=

x(lnx+1)

x-1

的最小值，学生思考起来有一定难度．此题属于难度较大的题目．