Question

已知：F₁，F₂是椭圆

x2

2

+

y2

4

=1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且

PF1

•

PF2

=1，过P作关于直线F₁P对称的两条直线PA和PB分别交椭圆于A、B两点．
（Ⅰ）求P点坐标；
（Ⅱ）求直线AB的斜率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）由题意可得

PF1

•

PF2

=x02-(2-y02)=1，由点P（x₀，y₀）在曲线上，可得

x02

2

+

y02

4

=1，联立可求P
（Ⅱ）由（I）知PF₁∥x轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为k（k＞0），则PB的直线方程为：y-

2

=k(x-1)，联立直线PB与椭圆方程，则可求xA-xB=

4 2 k

2+k2

，y_A-y_B=-k（x_A-1）-k（x_B-1）=

8k

2+k2

，根据kAB=

yA-yB

xA-xB

可求

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆方程为

x2

2

+

y2

4

=1，
∴F1(0，

2

)，F2(0，-

2

)，设P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0
则

PF1

=(-x0，

2

-y0)，

PF2

=(-x0，-

2

-y0)
∴

PF1

•

PF2

=x02-(2-y02)=1
∵点P（x₀，y₀）在曲线上，则

x02

2

+

y02

4

=1
∴x02=

4-y02

2

  
从而

4-y02

2

-(2-y02)=1，得y0=

2

，则点P的坐标为（1，

2

）；
（Ⅱ）由（1）知PF₁∥x轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为k（k＞0），则PB的直线方程为：y-

2

=k(x-1)；
由

y- 2 =k(x-1) x2 2 + y2 4 =1

得（2+k²）x2+2k(

2

-k)x+(

2

-k)2-4=0
设B（x_B，y_B）则xB=

2k(k- 2 )

2+k2

-1=

k2-2 2 k-2

2+k2

同理可得xA=

k2+2 2 k-2

2+k2

，则xA-xB=

4 2 k

2+k2

；
y_A-y_B=-k（x_A-1）-k（x_B-1）=

8k

2+k2

所以：AB的斜率kAB=

yA-yB

xA-xB

=

2

．

点评：本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系，椭圆的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．