Question

设，．证明：当且仅当时，存在数列满足以下条件：

（ⅰ），；

（ⅱ）存在；

（ⅲ），．

Answer 1

[证]  必要性：假设存在满足（ⅰ），（ⅱ），（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化为

          ，，

其中．

将上式从第1项加到第项，并注意到得

       ．              

由（ⅱ）可设，将上式取极限得

        

           

，

因此．                                                          

充分性：假设．定义多项式函数如下：

         ，，

则在[0,1]上是递增函数，且

，．

因此方程在[0,1]内有唯一的根，且，即．   

下取数列为，，则明显地满足题设条件（ⅰ），且  ．

因，故，因此，即的极限存在，满足（ⅱ）．                                                              

最后验证满足（ⅲ），因，即，从而

        ．

综上，已证得存在数列满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）．          

解析:

解析见答案