Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²，数列{b_n}的前n项和T_n=2-b_n．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n²•b_n，证明：当且仅当n≥3，且n∈N⁺时，c_n+1＜c_n．

Answer 1

分析：（1）因为给出了数列{a_n}的前n项和S_n=n²，所以可用：n=1时，a₁=S₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1来求数列{a_n}的通项公式．再由b_n=T_n-T_n-1，可得2b_n=b_n-1说明数列{b_n}是等比数列，由此可求数列{b_n}的通项公式．
（2）由（1）（2）及c_n=a_n²•b_n，推出

Cn+1

Cn

的取值范围，进而可证得当且仅当n≥3，且n∈N⁺时，c_n+1＜c_n．

解答：解：（1）由于a₁=S₁=1
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
又∵n=1时，2n-1=1
∴a_n=2n-1，n∈N^*，
又当n≥2时b_n=T_n-T_n-1=（2-b_n）-（2-b_n-1），
∴2b_n=b_n-1
∴数列b_n是等比数列，其首项为1，公比为

1

2

，
∴b_n=（

1

2

）^n-1．
（2）由（1）知C_n=a_n²b_n=（2n-1）²（

1

2

）^n-1＞0
∴C_n+1=（2n+1）²（

1

2

）ⁿ＞0
∴

Cn+1

Cn

=

(2n+1)2

2(2n-1)2

=

4n2+4n+1

8n2-8n+2

若c_n+1＜c_n．则

Cn+1

Cn

＜1
∴4n²-12n+1＞0 
解得n＞

3

2

+

2

或n＜

3

2

-

2

12分
又∵n∈N^*，
∴n≥3
所以当且仅当n≥3，且n∈N⁺时，c_n+1＜c_n．

点评：由a_n=S_n-S_n-1可求出b_n和a_n，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出b_n和a_n后，进而得到c_n，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法．考查计算能力．