Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a_n+1=2S_n+2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d_n的等差数列．
①设T_n=

1

d1

+

1

d2

+

1

d3

+…+

1

dn

（n∈N^*），求T_n；
②在数列{d_n}中是否存在三项d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，若q=1，则a_n=a₁，a_n+1=a₁，S_n=na₁，这与a_n+1=2S_n+2矛盾，故q≠1，由a_n+1=2S_n+2得a1qn=

2a1(1-qn)

1-q

+2，由此能够推导出a_n=2×3^n-1．
（2）由a_n=2×3^n-1，知a_n+1=2×3ⁿ，因为a_n=a_n+（n+1）d_n，所以dn=

4×3n-1

n+1

．
（i）Tn=

1

d1

+

1

d2

+

1

d3

+…+

1

dn

=

2

4×30

+

3

4×31

+

4

4×32

+…+

n+1

4×3n-1

，由错位相减法能够得到Tn=

15

16

-

3(2n+5)

16×3n

．
（ii）假设在数列{d_n}中存在d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，则d_k²=d_md_p，由m，k，p成等差数列，知m+p=2k，由此可得m=k=p这与题设矛盾，所以在数列{d_n}中不存在三项d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．

解答：解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，若q=1，则a_n=a₁，a_n+1=a₁，S_n=na₁，这与a_n+1=2S_n+2矛盾，
故q≠1，由a_n+1=2S_n+2得a1qn=

2a1(1-qn)

1-q

+2，…（3分）
故取

1

3

Tn=

2

4×31

+

3

4×32

+

4

4×33

+…+

n+1

4×3n

，解得

a1=2 q=3

，故a_n=2×3^n-1…（6分）
（2）由（1），知a_n=2×3^n-1，a_n+1=2×3ⁿ
因为a_n+1=a_n+（n+1）d_n，所以dn=

4×3n-1

n+1

…（8分）
（i）Tn=

1

d1

+

1

d2

+

1

d3

+…+

1

dn

=

2

4×30

+

3

4×31

+

4

4×32

+…+

n+1

4×3n-1

，
则

1

3

Tn=

2

4×31

+

3

4×32

+

4

4×33

+…+

n+1

4×3n

…（10分）
所以

2

3

Tn=

2

4×30

+

1

4×31

+

1

4×32

+

1

4×33

+…+

1

4×3n-1

-

n+1

4×3n

=

1

2

+

1

4

×

1 3 ×(1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

n+1

4×3n

=

5

8

-

2n+5

8×3n

所以Tn=

15

16

-

3(2n+5)

16×3n

…（12分）
（ii）假设在数列{d_n}中存在d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列
则d_k²=d_md_p，即(

4×3k-1

k+1

)2=

4×3m-1

m+1

×

4×3p-1

p+1

因为m，k，p成等差数列，所以m+p=2k①
上式可以化简为k²=mp②由①②可得m=k=p这与题设矛盾
所以在数列{d_n}中不存在三项d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列…（16分）

点评：第（1）题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公比是否等于1；第（2）题考查数列的前n项和的计算和等比数列的综合运用，解题时要注意错位相减法的合理运用．