Question

已知x＞0,y＞0,求证:.

Answer 1

思路分析:本题若直接运用综合法,则不易发现与已知不等式的关系,因而可试用分析法.

证明:要证明

只需证(x²+y²)³＞(x³+y³)²,

即证x⁶+3x⁴y²+3x²y⁴+y⁶＞x⁶+2x³y³+y⁶,

即证3x⁴y²+3x²y⁴＞2x³y³.

∵x＞0,y＞0,∴x²y²＞0,

即证3x²+3y²＞2xy.

∵3x²+3y²＞x²+y²≥2xy,

∴3x²+3y²＞2xy成立.

故

    深化升华 该例用分析法将一个较为复杂的不等式转化为简单的不等式,从而找到使它成立的条件.当然,该例也可以用分析综合法证明.