题目内容
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=4acosB-ccosB．
（1）求cosB的值；
（2）若
•
=2，且b=2
，求a和c的值．
（1）求cosB的值；
（2）若
| BA |
| BC |
| 3 |
分析：（1）由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知可得sinBcosC+cosBsinC=4sinAcosB，再利用两角和的正弦公式和三角形的内角和定理即可得出；（2）由
•
=2，利用数量积可得accosB=2，利用cosB=
，可得ac=8，再利用余弦定理即可得出．
| BA |
| BC |
| 1 |
| 4 |
解答：解：（1）由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴2RsinBcosC=8RsinAcosB-2RsinCcosB，
化为sinBcosC=4sinAcosB-sinCcosB，
可得sinBcosC+cosBsinC=4sinAcosB，
∴sin（B+C）=4sinAcosB，可得sinA=4sinAcosB，
∵sinA≠0，∴cosB=
．
（2）∵
•
=2，
∴accosB=2，又cosB=
，∴ac=8，
由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accosB，
∵b=2
，
∴12=a2+c2-4，化为a2+c2=16．
联立
，解得a=c=4．
∴2RsinBcosC=8RsinAcosB-2RsinCcosB，
化为sinBcosC=4sinAcosB-sinCcosB，
可得sinBcosC+cosBsinC=4sinAcosB，
∴sin（B+C）=4sinAcosB，可得sinA=4sinAcosB，
∵sinA≠0，∴cosB=
| 1 |
| 4 |
（2）∵
| BA |
| BC |
∴accosB=2，又cosB=
| 1 |
| 4 |
由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accosB，
∵b=2
| 3 |
∴12=a2+c2-4，化为a2+c2=16．
联立
|
点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形的内角和定理、数量积等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
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在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2-a2=
bc，且b=
a，则下列关系一定不成立的是（ ）
| 3 |
| 3 |
| A、a=c |
| B、b=c |
| C、2a=c |
| D、a2+b2=c2 |