Question

（本小题满分14分）
如图所示，椭圆C： 的两个焦点为、，短轴两个端点为、．已知、、 成等比数列，，与 轴不垂直的直线 与C 交于不同的两点、，记直线、的斜率分别为、，且．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）求证直线 与 轴相交于定点，并求出定点坐标；
（Ⅲ）当弦 的中点落在四边形 内（包括边界）时，求直线 的斜率的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）证明见解析。（0，2）
（Ⅲ） 或

（Ⅰ）易知、、（其中），则由题意知有．又∵，联立得．∴．
∵，∴．∴．
故椭圆C的方程为．                                         4分
（Ⅱ）设直线的方程为，、坐标分别为、．
由．
∴．                                6分
∵．
∴＝．
将韦达定理代入，并整理得，解得．
∴直线 与 轴相交于定点（0，2）．                                   10分
（III）由（Ⅱ）中，其判别式，得．①
设弦的中点坐标为，则，
∴点在轴上方，只需位于三角形内就可以，即满足
  将坐标代入，整理得 
解得 ②
由①②得所求范围为 或．                        14分