Question

已知函数（，实数，为常数）．

（Ⅰ）若（），且函数在上的最小值为0，求的值；

（Ⅱ）若对于任意的实数，，函数在区间上总是减函数，对每个给定的n，求的最大值h(n)．

Answer 1

解：（1）当时，．

则．

令，得（舍），．①当>1时，

	1
		-	0	+
		↘		↗

∴当时, ．令，得．

②当时，≥0在上恒成立，

在上为增函数，当时, ．

 令，得（舍）．综上所述，所求为．

 (2) ∵对于任意的实数，，在区间上总是减函数，

则对于x∈(1,3)，＜0， ∴在区间[1,3]上恒成立． 

设g(x)=，  ∵，∴g(x)在区间[1,3]上恒成立．

由g(x)二次项系数为正，得   即 亦即    

∵ =，

∴ 当n＜6时，m≤，  ,. 当n≥6时，m≤，

∴ 当n＜6时，h(n)= ，当n≥6时，h(n)= ，即