Question

【题目】如图，在四棱锥 中，底面为矩形，平面，二面角的平面角为，为中点，为中点.

（1）证明：平面；

（2）证明：平面平面；

（3）若，求实数的值，使得直线与平面所成角为．

Answer 1

【答案】（1）详见证明；（2）详见证明；（3）.

【解析】

（1）建立空间直角坐标系, 写出坐标，证明与平面的法向量垂直即可；

（2）求出平面与平面的法向量，证明平面与平面的法向量垂直即可；

（3）根据直线与平面所成角为建立出关于的方程，从而求出的值.

解：（1）因为平面，

所以，

又因为底面为矩形，

所以，

因为，

平面，

所以平面，

所以，

因为，且二面角的平面角为，

所以，

故，设，，

因为底面为矩形，平面，

故，，

以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，

，，

显然平面的法向量为，

因为，

所以，

因为平面，

所以平面；

（2）由（1）得，，，，

设平面的法向量为，

故有即

令，则，

同理，可得平面的法向量为，

因为，

所以，

所以平面平面；

（3）因为，

所以，即，

故，

因为直线与平面所成角为，

所以，

即，

化简，解得

因为，

所以.