Question

【题目】已知为圆上一动点，圆心关于轴的对称点为，点分别是线段上的点，且.

（1）求点的轨迹方程；

（2）直线与点的轨迹只有一个公共点，且点在第二象限，过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于两点，求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（1）利用椭圆定义求出点的轨迹方程；（2）由直线与椭圆相切可知，点的坐标为，设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，设直线的方程为，则，利用均值不等式求最值，从而得到面积的取值范围.

详解：（1）因为，所以为的中点，因为，所以，所以点在的垂直平分线上，所以，

因为，所以点在以为焦点的椭圆上，

因为，所以，

所以点的轨迹方程为.

（2）由得，，

因为直线与椭圆相切于点，

所以，即，

解得，

即点的坐标为，

因为点在第二象限，所以，

所以，

所以点的坐标为，

设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，

设直线的方程为，

则

，

，

当且仅当，即时，

有最大值，

所以，

即面积的取值范围为.