Question

（本小题满分14分）
已知数列中，,, 为该数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
（2）若不等式对一切正整数都成立，求正整数的最大值，并证明结论．

Answer 1

(1) ；
(2).当时，，即，所以．而是正整数，所以取。

本试题主要是考查了数列的通项公式的求解，和数列与不等式的综合运用。
（1）根据的，得到前n项和与通项公式的的关系，然后整体化简求解得到其通项公式的求解。
（2）不等式对一切正整数都成立，可以从特殊值入手，求解参数a的范围，然后分析得到结论。
解：(1) 
     ………1分
    又            ………3分
构成以2为首项，以1为公差的等差数列。
                               ………6分
(2).当时，，即，      
所以．                                     ………7分
而是正整数，所以取，下面用数学归纳法证明：．
（1）当时，已证；                      ………8分
（2）假设当时，不等式成立，即．   ………9分
则当时，
有
 ………11分
因为
即>       所以．
所以当时不等式也成立．          
由（1）（2）知，对一切正整数，都有，………13分
所以的最大值等于25．          ………14分