Question

已知函数f（x）=x -k2+k+2（k∈N），满足f（2）＜f（3）．
（1）求k的值并求出相应的f（x）的解析式；
（2）对于（1）中的函数f（x），使得g（x）=f（x）-（m-1）x+m在[0，2]上是单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（2）＜f（3）求得-1＜k＜2．再根据k∈N，可得k=0，1，由此求得f（x）的解析式．
（2）由于g（x）=x²-（m-1）x+m，当x∈[0，2]时单调，故有

m-1

2

≥2或

m-1

2

≤0，由此求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）由f（2）＜f（3），则-k²+k+2＞0，解得-1＜k＜2．
又k∈N，则k=0，1，此时，f（x）=x² ．
（2）由g（x）=f（x）-（m-1）x+m=x²-（m-1）x+m，
当x∈[0，2]时单调只需：

m-1

2

≥2或

m-1

2

≤0，
则m≥5，或m≤0，
即实数m的取值范围为（-∞，0]∪[5，+∞）．

点评：本题主要考查求函数的解析式，函数的单调性的应用，属于中档题．