Question

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁₀是S₄与S₇的等差中项，求数列{a_n}的公比q的值．

Answer 1

分析：分类讨论：（1）若q=1，经验证不合题意．（2）当q≠1时，由已知和求和公式可得关于q的方程，解方程可得．

解答：解：（1）若q=1，则2S₁₀=20a₁，而S₄+S₇=11a₁，
因a₁≠0，故2S₁₀≠S₄+S₇，不合题意．
（2）当q≠1时，
由2S₁₀=S₄+S₇可得2

a1(1-q10)

1-q

=

a1(1-q4)

1-q

+

a1(1-q7)

1-q

，
化简得2q⁶-q³-1=0，
即2（q³）²-q³-1=0
∴q3=-

1

2

，或∴q³=1（不合题意，舍去）
∴q=-

3 4

2

．

点评：本题考查等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．