Question

设b＞0，函数，记F（x）=f′（x）（f′（x）是函数f（x）的导函数），且当x=1时，F（x）取得极小值2．
（1）求函数F（x）的单调增区间；
（2）证明|[F（x）]ⁿ|-|F（xⁿ）|≥2ⁿ-2（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）将f'（x）求导数并化简得，然后再求F（x）的导数得，由F'（1）=0并结合a＞0建立关于a、b的方程组，解之即可得到a=b=1，进而可得F（x）的单调增区间为（1，+∞）．
（2）利用二项式定理将不等式左边展开合并，得|[F（x）]ⁿ|-|F（xⁿ）|=，利用基本不等式证出，由此即可证出原不等式对任意的n∈N^*恒成立．
解答：解：（1）根据题意，得．
于是，若a＜0，则F'（x）＜0，与F（x）有极小值矛盾，所以a＞0．
令F'（x）=0，并考虑到x＞0，可知仅当时，F（x）取得极小值．
所以解得a=b=1．…（4分）
故，由F'（x）＞0，得x＞1，所以F（x）的单调增区间为（1，+∞）．
（2）因为x＞0，所以记
得g（x）=
根据基本不等式，得，
∴将此式代入g（x）表达式，可得，
因此，|[F（x）]ⁿ|-|F（xⁿ）|≥2ⁿ-2（n∈N^*）．…（10分）
点评：本题给出基本初等函数，在已知当x=1时函数取得极小值2的情况下求函数F（x）的单调增区间，并依此证明不等式恒成立．着重考查了基本初等函数的性质、利用导数研究函数的单调性、二项式定理和不等式的证明等知识，属于中档题．