Question

【题目】如图，已知抛物线，直线交抛物线于，两点，是抛物线外一点，连接，分别交抛物线于点，，且．

（Ⅰ）若，求点的轨迹方程；

（Ⅱ）若，求面积的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）联立直线与抛物线，利用韦达定理、定比分点坐标公式、导数的几何意义可求得点的横坐标为定值，再根据点在抛物线外可得点的纵坐标的范围，从而可得结果；

（Ⅱ）由（Ⅰ）和弦长公式求解．

（Ⅰ）设，，，

由，得，

则，（*）

因为，所以可设，，

所以由定比分点公式得，，

将的坐标代入抛物线方程，得，，

化简得，

所以为方程的两根，

联立（*）式得，

解得．

设过抛物线上点的切线与平行，

因为，所以，则，即，，

所以点的轨迹方程为．

（Ⅱ）设的中点为，

则，

由（Ⅰ）知，

因为，所以，

又，得，

又

，

所以

，

显然当时，取得最小值．