Question

在△ABC中，∠A=60°，点M为边AC的中点，BM=，则AB+AC的最大值为    ．

Answer 1

【答案】分析：依题意，利用正弦定理可求得△ABM的外接圆直径，从而可用角表示出AB，AC，利用三角函数间的关系式即可求得AB+AC的最大值．
解答：解：∵在△ABC中，∠A=60°，点M为边AC的中点，BM=，
∴在△ABM中，设∠AMB=θ，则∠ABM=120°-θ，0＜θ＜120°，
由正弦定理得：====4，
∴|AB|=4sinθ，|AM|=4sin（120°-θ），又点M为边AC的中点，
∴|AC|=2|AM|=8sin（120°-θ），
∴|AB|+|AC|=4sinθ+8sin（120°-θ）
=4sinθ+8×cosθ-8×（-）sinθ
=8sinθ+4cosθ
=4sin（θ+φ），（其中tanφ=）．
∴当sin（θ+φ）=1时，|AB|+|AC|取得最大值．
∴|AB|+|AC|的最大值为4．
故答案为：4．
点评：本题考查正弦定理的应用，考查三角函数间的关系式及辅助角公式的应用，能用三角关系式表示出AB+AC是关键，也是难点，属于中档题．