Question

（2010•安徽模拟）已知函数f（x）=6lnx+x²-8x，g(x)=

p

x

+x2

(p∈R)

．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若在区间[1，e]上至少存在一点x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f′(x)=

6

x

+2x-8=

2x2-8x+6

x

=

2(x-3)(x-1)

x

，能求出函数f（x）的单调递增区间．
（2）令h(x)=f(x)-g(x)=6lnx-8x-

p

x

，则h′(x)=

6

x

-8+

p

x2

=

-8x2+6x+p

x2

．令-8x²+6x+p=0，知△=36+32p．由此进行分类讨论能求出实数p的取值范围．

解答：解：（1）∵f′(x)=

6

x

+2x-8=

2x2-8x+6

x

=

2(x-3)(x-1)

x

（3分）
∴x∈（1，3）时，f'（x）＜0，
∴f（x）在[1，3]单调递减，
x∈（0，1）或x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，1]和[3，+∞）单调递增（5分）
（2）令h(x)=f(x)-g(x)=6lnx-8x-

p

x

（6分）
∴h′(x)=

6

x

-8+

p

x2

=

-8x2+6x+p

x2

（7分）
令-8x²+6x+p=0知△=36+32p，
（i）当36+32p≤0即p≤-

9

8

时，
△≤0，此时h'（x）≤0，
∴h（x）在[1，e]单调递减，
∴h（x）_max=h（1）=-8-p＞0，
∴p＜-8（9分）
（ii）当P＞-

9

8

时，
方程（1）有两根x1=

3+ 9+8p

8

，x2=

3- 9+8p

8

＜1．（10分）
①若

3+ 9+8p

8

≥e，即p≥8e²-6e时，
当x∈[1，e]，h'（x）≥0，此时h（x）在[1，e]上单调递增．
∴h(x)max=h(e)=6-8e-

p

e

＞0，得p＜6e-8e²，此时无解．（11分）
②若

3+ 9+8p

8

≤1，
即-

9

8

＜p≤2时，
当x∈[1，e]，h'（n）＜0，
∴h（x）在[1，e]单调递减．
∴h（x）_max=h（1）=-8-p＞0，
∴p＜-8此时无解．（12分）
③当2＜p＜8e²-6e时，1＜

3+ 9+8p

8

＜e，
∴x∈[1，

3+ 9+8p

8

]，h′(x)＞0，h(x)单调递增，
x∈[

3+ 9+8p

8

，e]，h′(x)＜0h（x）单调递减，
∴x=

3+ 9+8p

8

时，h(x)max=h(

3+ 9+8p

8

)=6ln

3+ 9+8p

8

-8•

3+ 9+8p

8

-

p

3+ 9+8p 8

＜6lne-8=-2，此时无解（13分）
综上知p＜-8时存在x₀使f（x₀）＞g（x₀）．（14分）

点评：本题考查用导数求函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．