题目内容
4．
某中学对高三年级进行身高统计，测量随机抽取的20名学生的身高，其频率分布直方图如图（单位：cm）（1）求a的值
（2）根据频率分布直方图，求出这20名学生身高中位数的估计值和平均数的估计值．
（3）在身高为140-160的学生中任选2个，求至少有一人的身高在150-160之间的概率．
分析 （1）根据0.01+0.02+a+0.04=0.1，求出a的值即可；
（2）根据中位数的左边和右边的直方图的面积相等可求中位数；计算每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和可得平均数．
（3）根据频数=频率×样本容量，可以求出身高介于140～150的学生人数和身高介于150～160的学生人数，进而由组合数公式，可求出从身高在140-160的学生中随机抽取2名学生的事件个数及至少有一个人身高在150-160之间的事件个数，代入古典概型概率公式，可得答案．
解答 解：（1）a=0.1-0.01-0.02-0.04=0.03；
（2）中位数的左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，∵0.1+0.3+0.04×2.5=0.5
所以中位数的估计值为162.5．
平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
则平均数的估计值为145×0.1+155×0.3+165×0.4+175×0.2=162，
（3）这20名学生中，身高在140-150之间的有2个，分别为A，B，身高在150-160之间的有6人，
从这8人中任选2个，有${C}_{8}^{2}$=28种选法，
两个身高都在140---150之间的选法有1种选法，
所以至少有一个人在150-160之间的选法有28-1=27，
故至少有一人的身高在150-160之间的概率为$\frac{27}{28}$．
点评 本题考查了利用频率分布直方图求样本的中位数、平均数，考查了古典概型的概率计算，解题的关键是读懂频率分布直方图的数据．
练习册系列答案
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15．若向量$\overrightarrow a=（-1，x）$与$\overrightarrow b=（-x，2）$共线且方向相同，则x的值为（ ）
| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $-\sqrt{2}$ | C． | 2 | D． | -2 |
12．化为推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：
女性用户：
男性用户：
（1）如果评分不低于70分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为性别对手机的“认可”有关：
附：
K2=$\frac{n（a+d-b+c）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求2名用户中评分小于90分的概率．
女性用户：
| 分值区间 | [50，60） | [60，70） | [70，80） | [80，90） | [90，100） |
| 频数 | 20 | 40 | 80 | 50 | 10 |
| 分值区间 | [50，60） | [60，70） | [70，80） | [80，90） | [90，100） |
| 频数 | 45 | 75 | 90 | 60 | 30 |
| 女性用户 | 男性用户 | 合计 | |
| “认可”手机 | 140 | 180 | 320 |
| “不认可”手机 | 60 | 120 | 180 |
| 合计 | 200 | 300 | 500 |
| P（K2≥k） | 0.05 | 0.01 |
| k | 3.841 | 6.635 |
（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求2名用户中评分小于90分的概率．
19．已知a＞0，函数f（x）=ax2+bx+c，若x0满足2ax0+b=0，则下列选项中是假命题的是（ ）
| A． | ?x∈R，f（x）≤f（x0） | B． | ?x∈R，f（x）≥f（x0） | C． | ?x∈R，f（x）≤f（x0） | D． | ?x∈R，f（x）≥f（x0） |
9．函数y=sin （2x+$\frac{π}{3}$）的图象可由函数y=cosx的图象（ ）
| A． | 先把各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍，再向左平移$\frac{π}{6}$个单位 | |
| B． | 先把各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍，再向右平移$\frac{π}{12}$个单位 | |
| C． | 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移$\frac{π}{6}$个单位 | |
| D． | 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移$\frac{π}{12}$个单位 |
如图，三棱柱ABC-DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE=$\frac{π}{3}$，BC=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，点F在平面ABED内的正投影为G，且G在AE上，FG=$\sqrt{3}$，点M在线段CF上，且CM=$\frac{1}{4}$CF．