Question

如图，椭圆Q：（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A，B两点，P为线段AB的中点。

（1）求点P的轨迹H的方程；
（2）若在Q的方程中，令a²=1+cosθ+sinθ，b²=sinθ（0＜θ≤），设轨迹H的最高点和最低点分别为M和N，当θ为何值时，△MNF为一个正三角形？

Answer 1

解：（1）设椭圆Q：（a＞b＞0）上的点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
又设P点坐标为P（x，y），
则
1°当AB不垂直x轴时，x₁≠x₂，
由（1）-（2）得b²（x₁-x₂）2x+a²（y₁-y₂）2y=0
∴
∴b²x²+a²y²-b²cx=0（3）
2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）
故所求点P的轨迹方程为：b²x²+a²y²-b²cx=0。
（2）因为轨迹H的方程可化为：
∴M（，），N（，-），F（c，0），
使△MNF为一个正三角形时，则
tan==，即a²=3b²
由于，，
则1+cosθ+sinθ=3sinθ，
得θ=arctan。