题目内容
已知函数f（x）=x2ln|x|若关于x的方程f（x）=kx-1有实数解，求实数k的取值范围是（ ）
分析：由题意可得，函数y=f（x）的图象与直线y=kx-1有交点，先看当k＞0时，用导函数求出当直线y=kx-1与f（x）的图象相切时k的值，再根据对称性求出k＜0时直线y=kx-1与f（x）的图象相切时k的值，进而求出f（x）=kx-1有实数解，求实数k的取值范围．
解答：解：由题意可得，函数f（x）=x2ln|x|的图象和直线y=kx-1有交点，
由于函数f（x）满足f（-x）=f（x），故f（x）是偶函数，
函数f（x）的图象如图．
先求当直线y=kx-1与f（x）的图象相切时k的值．
当k＞0时，f'（x）=x•（2lnx+1）
设切点为P（a，f（a）），
则切线方程为y-f（a）=f'（a）（x-a），
将x=0，y=-1代入，得-1-f（a）=f'（a）（-a）
即a2lna+a2-1=0（*）．
显然，a=1满足（*），
而当0＜a＜1时，a2lna+a2-1＜0，
当a＞1时，a2lna+a2-1＞0，
∴（*）有唯一解a=1，此时k=f'（1）=1．
再由对称性，k=-1时，y=kx-1也与f（x）的图象相切，
∴若方程f（x）=kx-1有实数解，则实数k的取值范围是（-∞，-1]∪[1，+∞），
故选A．
由于函数f（x）满足f（-x）=f（x），故f（x）是偶函数，
函数f（x）的图象如图．
先求当直线y=kx-1与f（x）的图象相切时k的值．
当k＞0时，f'（x）=x•（2lnx+1）
设切点为P（a，f（a）），
则切线方程为y-f（a）=f'（a）（x-a），
将x=0，y=-1代入，得-1-f（a）=f'（a）（-a）
即a2lna+a2-1=0（*）．
显然，a=1满足（*），
而当0＜a＜1时，a2lna+a2-1＜0，
当a＞1时，a2lna+a2-1＞0，
∴（*）有唯一解a=1，此时k=f'（1）=1．
再由对称性，k=-1时，y=kx-1也与f（x）的图象相切，
∴若方程f（x）=kx-1有实数解，则实数k的取值范围是（-∞，-1]∪[1，+∞），
故选A．
点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数的单调性和奇偶性的综合运用．在解决函数的单调性问题时，常利用导函数的性质，属于中档题．
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| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
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