题目内容

 （16分）设函数，。

⑴若函数图象上的点到直线距离的最小值是，求的值。

⑵关于的不等式的解集中的整数恰好有3个，求实数的取值范围。

 

【答案】

⑴.⑵.

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数与不等式以及点到直线的距离的综合运用。

（1）因为函数图象上的点到直线距离的最小值是，则因为，所以，令，解得，此时，则点到直线的距离最小可得结论。

（2）由于关于的不等式的解集中的整数恰好有3个，等价于恰好有三个整数解，等价转化思想得到结论。

⑴因为，所以，令，解得，此时，则点到直线的距离最小，即解得.

⑵不等式的解集中的整数解恰好有3个，等价于恰好有三个整数解，故，即，，所以，又因为，所以，解得.

 

练习册系列答案
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设函数f(x)=2x+
a
2x
-1（a为实数）．
（Ⅰ）当a=0时，求方程|f(x)|=
1
2
的根；
（Ⅱ）当a=-1时，
（ⅰ）若对于任意t∈（1，4]，不等式f（t2-2t）-f（2t2-k）＞0恒成立，求k的范围；
（ⅱ）设函数g（x）=2x+b，若对任意的x1∈[0，1]，总存在着x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2），求实数b的取值范围．
已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn，（x∈N*），其导函数记为fn′（x），且满足fn′[ax1+(1-a)x2]  =
f2(x2)-f2(x1) x2-x1
，其中a，x1，x2为常数，x1≠x2．设函数g（x）=f1（x）+mf2（x）-lnf3（x），（m∈R且m≠0）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）无极值点，其导函数g′（x）有零点，求m的值；
（Ⅲ）求函数g（x）在x∈[0，a]的图象上任一点处的切线斜率k的最大值．
对于定义域为[0，1]的函数f（x），若同时满足以下三个条件：
①f（1）=1； 
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（Ⅰ）若函数f（x）为理想函数，求f（0）．
（Ⅱ）判断函数g（x）=2x-1（x∈[0，1]）和函数h(x)=sin
π2
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（III）设函数f（x）为理想函数，若?x0∈[0，1]，使f（x0）∈[0，1]，且f[f（x0）]=x0，求证：f（x0）=x0．
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．请你根据这一发现，求：函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
对称中心为
（
1
2
，1）
（
1
2
，1）
．
（2007•温州一模）设函数y=f（x），我们把满足方程f（x）=0的值x叫做函数y=f（x）的零点．现给出函数f（x）=x3-3x2+ax+a2-10，若它是R上的单调函数，且1是它的零点．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设Q1（x1，0），若过P1（x1，f（x1））作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Q2（x2，0），再过P2（x2，f（x2））作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Q3（x3，0），…，依此下去，过Pn（xn，f（xn））（n∈N*）作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Qn+1（xn+1，0），…．
若x1=2，xn＞1，求xn．

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