Question

已知函数
（1）求证：函数f（x）在点（e，f（e））处的切线横过定点，并求出定点的坐标；
（2）若f（x）＜f₂（x）在区间（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）当时，求证：在区间（1，+∞）上，满足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．

Answer 1

解：（1）因为，所以f（x）在点（e，f（e））处的切线的斜率为，所以f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为，
整理得，所以切线恒过定点．
（2）令＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，
因为（*）
令p'（x）=0，得极值点x₁=1，，
①当时，有x₂＞x₁=1，即时，在（x₂，+∞）上有p'（x）＞0，
此时p（x）在区间（x₂，+∞）上是增函数，
并且在该区间上有p（x）∈（p（x₂），+∞），不合题意；
②当a≥1时，有x₂＜x₁=1，
同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；
③当时，有2a﹣1≤0，
此时在区间（1，+∞）上恒有p'（x）＜0，从而p（x）在区间（1，+?）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，
所以．
综上可知a的范围是．
（3）当时，
记．
因为，所以y=f₂（x）﹣f₁（x）在（1，+∞）上为增函数，
所以，
设，
则f₁（x）＜R（x）＜f₂（x），
所以在区间（1，+∞）上，满足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．