Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA₁=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3
（1）证明：BE⊥平面BB₁C₁C；
（2）求点B₁到平面EA₁C₁ 的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）过点B作BF⊥CD于F点，算出BF、EF、FC的长，从而在△BCE中算出BE、BC、CE的长，由勾股定理的逆定理得BE⊥BC，结合BE⊥BB₁利用线面垂直的判定定理，可证出BE⊥平面BB₁C₁C；
（2）根据AA₁⊥平面A₁B₁C₁，算出三棱锥E-A₁B₁C₁的体积V=．根据线面垂直的性质和勾股定理，算出A₁C₁=EC₁=3、A₁E=2，从而得到等腰△A₁EC₁的面积S_△=3，设B₁到平面EA₁C₁ 的距离为d，可得三棱锥B₁-A₁C₁E的体积V=×S_△×d=d，从而得到=d，由此即可解出点B₁到平面EA₁C₁ 的距离．
解答：解：（1）过点B作BF⊥CD于F点，则
BF=AD=，EF=AB=DE=1，FC=2
在Rt△BEF中，BE==；在Rt△BCF中，BC==
因此，△BCE中可得BE²+BC²=9=CE²
∴∠CBE=90°，可得BE⊥BC，
∵BB₁⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，∴BE⊥BB₁，
∵BC、BB₁是平面BB₁C₁C内的相交直线，∴BE⊥平面BB₁C₁C；
（2）∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，得AA₁是三棱锥E-A₁B₁C₁的高线
∴三棱锥E-A₁B₁C₁的体积V=×AA₁×S_△=
在Rt△A₁D₁C₁中，A₁C₁==3
同理可得EC₁==3，A₁E==2
∴等腰△A₁EC₁的底边EC₁上的中线等于=，
可得S_△=×2×=3
设点B₁到平面EA₁C₁ 的距离为d，则三棱锥B₁-A₁C₁E的体积为
V=×S_△×d=d，可得=d，解之得d=
即点B₁到平面EA₁C₁ 的距离为．
点评：本题在直四棱柱中求证线面垂直，并求点到平面的距离．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识，属于中档题．