题目内容

精英家教网如图，以A1，A2为焦点的双曲线E与半径为c的圆O相交于C，D，C1，D1，连接CC1与OB交于点H，且有：
OH
=(3+2
3
)
HB
．其中A1，A2，B是圆O与坐标轴的交点，c为双曲线的半焦距．
（1）当c=1时，求双曲线E的方程；
（2）试证：对任意正实数c，双曲线E的离心率为常数．
（3）连接A1C与双曲线E交于F，是否存在
实数λ，使
A1F
=λ
FC
恒成立，若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据题意可求得B的坐标和H的坐标，设出曲线E的方程，把点C代入曲线E，利用半焦距c联立方程求得a和b，则曲线E的方程可得．
（2）根据题意可表示出H的坐标，设出曲线E的方程，联立方程求得a和b的关系，进而根据双曲线中a，b和c关系求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得．推断出双曲线E的离心率为常数．
（3）先假设存在实数λ，依题意可知C点坐标，利用
A1F
=λ
FC
表示出F的坐标，分别代入双曲线的方程，联立求得λ关于e的表达式，进而根据（2）中e为常数推断出存在实数λ使题设等式成立．
解答：解：（1）由c=1知B（0，1），∵
OH
=(3+2
3
)
HB
，
∴xH=0，yH=
3+2
3
4+2
3
=
3
2

即H（0，
3
2
）点C在单位圆上，∴C=（
1
2
，
3
2
）
设双曲线E的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）．
由点C的双曲线E上，半焦距c=1有：
a2+b2=1
1
4a2
-
3
4b2
=1

解得
a2=1-
3
2
b2=
3
2

所以双曲线E的方程为：
x2
1-
3
2
-
y2
3
2
=1
（2）证明：∵A1（-c，0），B（0，c），
由O
H
=(3+2
3
)H
B
得：H（0，
3
2
），（
1
2
c，
3
2
c）
设双曲线E的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）
∴
a2+b2=c2①
c2
4a2
-
3c2
4b2
=1②

①代入②，化简整理得3a4+6a2b2-b4=0，
∴(
b
a
)4-6(
b
a
)2-3=0
解得(
b
a
)2=3+2
3

又e2=
c2
a2
=1+(
b
a
)2=4+2
3
．
∴e=
4+2
3
=
3
+1，即双曲线E的离心离是与c无关的常数．
（3）假设存在实数λ，使A1
F
=λF
C
恒成立，
A1（-c，0），C(
c
2
，
3
c
2
)有xF=
-c+
c
2
•λ
1+λ
，yf=
3
2
•λ
1+λ

点F
c(λ-2)
2(1+λ)
，
3
λ
2(1+λ)
点C，F都在双曲线E上，
故有
c2
4a2
-
3c2
4b2
=1③
c2(λ-2)2
4a2(1+λ)2
-
3c2λ2
4b2(1+λ)2
④

由③得e2-
3c2
b2
=4?
c2
b2
=
e2-4
3
⑤
⑤代入④得
e2(λ-2)2
4(1+λ)2
-(e2-4)•
λ2
4(1+λ)2
=1，
化简整理得-λe2+e2=2λ+1
即λ=
e2-1
e2+2
，利用（2）小题的结论得：λ=
3+2
3
6+2
3
=
1+
3
4

故存在实数λ=
1+
3
4
，使A1
F
=λF
C
恒成立．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，双曲线的标准方程和双曲线的简单性质．考查了运算的能力，分析问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
随机抽取某产品n件，测得其长度分别为以a1，a2，…，an，则如图所示的程序框图输出的s=
a1+a2+a2+…+an
n
a1+a2+a2+…+an
n
．

如图，以A1、A2为焦 点的双曲线E与半径为c的圆O相交于C、D、C1、D1，连接CC1与OB交于点H，且有是圆O与坐标轴的交点，c为双曲线的半焦距.

（1）当c=1时，求双曲线E的方程；

（2）试证：对任意正实数c，双曲线E的离心率为常数；

（3）连接A1C，与双曲线E交于点F，是否存在实数，使恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.

如图，以A1、A2为焦 点的双曲线E与半径为c的圆O相交于C、D、C1、D1，连接CC1与OB交于点H，且有是圆O与坐标轴的交点，c为双曲线的半焦距.

（1）当c=1时，求双曲线E的方程；

（2）试证：对任意正实数c，双曲线E的离心率为常数；

（3）连接A1C，与双曲线E交于点F，是否存在实数，使恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
如图，以A1，A2为焦点的双曲线E与半径为c的圆O相交于C，D，C1，D1，连接CC1与OB交于点H，且有：．其中A1，A2，B是圆O与坐标轴的交点，c为双曲线的半焦距．
（1）当c=1时，求双曲线E的方程；
（2）试证：对任意正实数c，双曲线E的离心率为常数．
（3）连接A1C与双曲线E交于F，是否存在
实数λ，使=λ恒成立，若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网