Question

如图，以A₁、A₂为焦 点的双曲线E与半径为c的圆O相交于C、D、C₁、D₁，连接CC₁与OB交于点H，且有是圆O与坐标轴的交点，c为双曲线的半焦距.

（1）当c=1时，求双曲线E的方程；

（2）试证：对任意正实数c，双曲线E的离心率为常数；

（3）连接A₁C，与双曲线E交于点F，是否存在实数，使恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）解：由c=1知B（0，1），

   即，点C在单位圆上，

设双曲线E的方程为

由点C在双曲线E上，半焦距c=1有：

所以双曲线E的方程为：

（2）证明：

得：

设双曲线E的方程为

① ②

   

①代入②，化简整理得

解得

又

，即双曲线E的离心率是与c无关的常数.

（3）

假设存在实数，使恒成立，

有

点点C、F都在双曲线E上，故有

④

③

由③得  ⑤

⑤代入④得化简整理得

即（2）小题的结论得：

故存在实数，使恒成立.