Question

如图，以A₁，A₂为焦点的双曲线E与半径为c的圆O相交于C，D，C₁，D₁，连接CC₁与OB交于点H，且有：．其中A₁，A₂，B是圆O与坐标轴的交点，c为双曲线的半焦距．
（1）当c=1时，求双曲线E的方程；
（2）试证：对任意正实数c，双曲线E的离心率为常数．
（3）连接A₁C与双曲线E交于F，是否存在
实数λ，使=λ恒成立，若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可求得B的坐标和H的坐标，设出曲线E的方程，把点C代入曲线E，利用半焦距c联立方程求得a和b，则曲线E的方程可得．
（2）根据题意可表示出H的坐标，设出曲线E的方程，联立方程求得a和b的关系，进而根据双曲线中a，b和c关系求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得．推断出双曲线E的离心率为常数．
（3）先假设存在实数λ，依题意可知C点坐标，利用=λ表示出F的坐标，分别代入双曲线的方程，联立求得λ关于e的表达式，进而根据（2）中e为常数推断出存在实数λ使题设等式成立．
解答：解：（1）由c=1知B（0，1），∵，
∴
即H（0，）点C在单位圆上，∴C=（，）
设双曲线E的方程为（a＞0，b＞0）．
由点C的双曲线E上，半焦距c=1有：
解得
所以双曲线E的方程为：
（2）证明：∵A₁（-c，0），B（0，c），
由得：H（0，），（c，c）
设双曲线E的方程为（a＞0，b＞0）
∴
①代入②，化简整理得3a⁴+6a²b²-b⁴=0，
∴
解得
又．
∴，即双曲线E的离心离是与c无关的常数．
（3）假设存在实数λ，使恒成立，
A₁（-c，0），有，
点F，点C，F都在双曲线E上，
故有
由③得⑤
⑤代入④得，
化简整理得-λe²+e²=2λ+1
即，利用（2）小题的结论得：
故存在实数，使恒成立．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，双曲线的标准方程和双曲线的简单性质．考查了运算的能力，分析问题的能力．