Question

（2011•浙江模拟）如图，几何体ABCDEF，△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，AD、BE、CF均与面ABC垂直，其中AB=BC=

2

，BE=CF=3．
（Ⅰ）当O是CE中点且AD=

3

2

时，证明：AO∥平面DEF；
（Ⅱ）如果AD＜3，试求：当AD为多少时，平面DBC与平面DEF成直二面角？

Answer 1

分析：（I）取线段EF的中点G，连接OG、DG，由三角形中位定理易证OG∥AD，OG=AD，进而四边形AOGD为平行四边形，进而AO∥GD由线面垂直的判定定理可得AO∥平面DEF；
（Ⅱ）方法一：由面面垂直的性质可得∠BDE即为二面角的平面角，设AD=x，DM=3-x，由直角三角形可得：x²+2+（3-x）²+2=9，解方程确定D的位置可得答案；
方法二：（向量法）以B为原点，分别以BC、BA、BE所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面DBC的法向量和平面DEF的法向量，进而根据两平面垂直，其法向量也垂直得到z²-3z+2=0，解方程确定D的位置可得答案；

解答：证明：（I）取线段EF的中点G，连接OG、DG
∵O、G分别为CE和EF的中点
∵OG∥CF
∴OG∥AD…（2分）
又，OG=

1

2

CF=

3

2

=AD
所以，四边形AOGD为平行四边形…（4分）
∴AO∥GD又AO?平面DEF，GD?平面DEF
所以，AO∥平面DEF…（7分）
解：（II）方法一：

平面BCD⊥平面ABDE 平面DEF⊥平面ABDE

⇒∠BDE即为二面角的平面角…（10分）
平面DBC与平面DEF成直二面角，即∠BDE=90°
设AD=x，DM=3-x，由直角三角形可得：x²+2+（3-x）²+2=9…（12分）
解得：x₁=1，x₂=2
所以当AD=1或AD=2时，
平面DBC与平面DEF成直二面角…（14分）
方法二：向量法
以B为原点，分别以BC、BA、BE所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系
则B（0，0，0），C(

2

，0，0)，A(0，

2

，0)，E（0，0，3），F(

2

，0，3)…（8分）
设D(0，

2

，z)
平面DBC的法向量为

n

1=(0，1，-

2

z

)…（9分）
平面DEF的法向量为

n

2=(0，1，-

2

z-3

)…（10分）
则，

n

1⊥

n

2⇒

n

1•

n

2=0，
即1+

2

z(z-3)

=0…（12分）
z²-3z+2=0，解得，z=1或z=2
所以当AD=1或AD=2时，平面DBC与平面DEF成直二面角…（14分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，其中（I）的关键是证得AO∥GD，（II）中方法一的关键是确定∠BDE即为二面角的平面角，方法二的关键是建立适当的坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题．