Question

已知椭圆的两焦点为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），离心率e=

3

2

．
（Ⅰ）求此椭圆的方程．
（Ⅱ）设直线y=

x

2

+m与椭圆交于P，Q两点，且|PQ|的长等于椭圆的短轴长，求m的值．
（Ⅲ）若直线y=

x

2

+m与此椭圆交于M，N两点，求线段MN的中点P的轨迹方程．

Answer 1

分析：（I）求椭圆的方程即是求a，b两参数的值，由题设条件椭圆的两焦点为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），离心率e=

3

2

．求出a，b即可得到椭圆的方程．
（II）本题中知道了直线l：y=

1

2

x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，故可由弦长公式建立方程求出参数m的值．首先要将直线方程与椭圆方程联立，再利用弦长公式建立方程；
（III）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为P（x，y），则x

2 1

+4y

2 1

=4，x

2 2

+4y

2 2

=4，利用设而不求的方法结合中点坐标公式即可求出线段MN的中点P的轨迹方程．

解答：解：（I）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则c=

3

，

c

a

=

3

2

，（4分）
∴a=2，b=1，所求椭圆方程

x2

4

+y2=1．（5分）
（II）由

t= 1 2 x+m x2+4y2=4

，消去y，得x²+2mx+2（m²-1）=0，…（6分）
则△=4m²-8（m²-1）＞0得m²＜2（*）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-2，y₁-y₂=

1

4

（x₁-x₂）…（7分）
|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

5

2

(x1-x2)2-4x1x2

=

5

2

8-4m2

=

5

•

2-m2

=2…（9分）
解得，m=±

30

5

，满足（*）
∴m=±

30

5

．…（10分）
（III）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为P（x，y），
则x

2 1

+4y

2 1

=4，x

2 2

+4y

2 2

=4，又x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，
∴x+2y=0，因P在椭圆的内部，可求得-

2

＜x＜

2

，
∴线段MN的中点P的轨迹方程为x+2y=0，（-

2

＜x＜

2

）．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力．解答的关键是利用方程思想利用设而不求的方法求出m值．