题目内容
腾讯公司2005年8月15日推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为an（n∈N*），设bn=an+1-an．| 等级 | 等级图标 | 需要天数 | 等级 | 等级图标 | 需要天数 |
| 1 | 5 | 7 | 77 | ||
| 2 | 12 | 8 | 96 | ||
| 3 | 21 | 12 | 192 | ||
| 4 | 32 | 16 | 320 | ||
| 5 | 45 | 32 | 1152 | ||
| 6 | 60 | 48 | 2496 |
（2）利用（1）的结论求数列{an}的通项公式；
（3）设
，求证：c1+c2+…+cn＜1．
【答案】分析：（1）根据bn=an+1-an结合图表中的数据，直接计算，并结合等差数列定义判断是等差数列．
（2）由（1）知an+1-an=2n+5，此种情形可用叠加法求数列{an}的通项公式
（3）由（2）能得出
=
，用裂项法求出c1+c2+…+cn，再去证明不等式．
解答：解：（1）由表所给出的数据得a1=5，a2=12，a3=21，a4=32，而bn=an+1-an，
于是b1=7，b2=9，b3=11，b4=13．
猜测{bn}是以7为首项，公差为2的等差数列．
所以bn=2n+5，n∈N*
（2）由（1）知an+1-an=2n+5，
当n≥2时，an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…（a2-a1）+a1
=[2×（n-1）+5]+[2×（n-2）+5]+…+（2×1+5）+5
=2×[1+2+…（n-1）]+5n=n2+4n
且当n=1时也符合
∴an=n2+4n
（3）
=
于是
=
．
点评：本题考查等差数列定义及判断、叠加法、裂项法求和，需要一定的阅读能力，收集数据、处理数据，计算能力．
（2）由（1）知an+1-an=2n+5，此种情形可用叠加法求数列{an}的通项公式
（3）由（2）能得出
=
，用裂项法求出c1+c2+…+cn，再去证明不等式．解答：解：（1）由表所给出的数据得a1=5，a2=12，a3=21，a4=32，而bn=an+1-an，
于是b1=7，b2=9，b3=11，b4=13．
猜测{bn}是以7为首项，公差为2的等差数列．
所以bn=2n+5，n∈N*
（2）由（1）知an+1-an=2n+5，
当n≥2时，an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…（a2-a1）+a1
=[2×（n-1）+5]+[2×（n-2）+5]+…+（2×1+5）+5
=2×[1+2+…（n-1）]+5n=n2+4n
且当n=1时也符合
∴an=n2+4n
（3）
=
于是
=
．点评：本题考查等差数列定义及判断、叠加法、裂项法求和，需要一定的阅读能力，收集数据、处理数据，计算能力．
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