Question

【题目】已知椭圆的离心率为，焦距为．斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，．

（1）求椭圆的方程；

（2）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．若，和点共线，求．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据离心率和焦距求得，由此求得，进而求得椭圆的标准方程.

（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出根与系数关系，进而求得点的坐标，同理求得点坐标.求得、，结合三点共线列方程，化简求得的值.

（1）由题意得，所以，

又，所以，所以，

所以椭圆的标准方程为．

（2）设，，，，

则①，②，

又，所以可设，

直线的方程为，

由消去可得：

，

则，即，

又，代入①式可得，

所以，所以，

同理可得．

故，，

因为三点共线，

所以，

将点的坐标代入化简可得，

即．