Question

【题目】从抛物线上任意一点向轴作垂线段垂足为，点是线段上的一点，且满足.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）设直线与轨迹交于两点，点为轨迹上异于的任意一点，直线分别与直线交于两点.问：轴正半轴上是否存在定点使得以为直径的圆过该定点？若存在，求出符合条件的定点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定点，理由详见解析.

【解析】

（1）设点，利用关系，将点坐标表示为形式，代入抛物线方程，即可求解；

（2）将直线与轨迹方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由根与系数关系，建立纵坐标关系，设点坐标，求出直线方程，进而求出坐标，先求出为原点时， 为直径的圆过轴正半轴上定点，而后证明为曲线不同于任意点时，判定该定点是否在以为直径的圆上，即可求出结论.

（1）设，则，

在抛物线上，

为曲线的方程；

（2）设，

联立，消去，

，

直线的斜率为，

直线方程为，

令，

所以，同理，

令中点坐标为，

，

以为直径的圆方程为，

令或（舍去）

当为坐标原点是以为直径的圆过定点，

当不过原点时，，

，

，以为直径的圆过点，

轴正半轴上存在定点使得以为直径的圆过该定点