题目内容

设函数f（x）=
|x|x+2
-ax2，其中a∈R．
（1）当a=2时，求函数f（x）的零点；
（2）当a＞0时，求证：函数f（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点．
分析：（1）当a=2时，函数f（x）=
|x|- 2x2(x+2)
x+2
，令|x|-2x2（x+2）=0，可得 ①
x≥0
x-2x3-4x2=0
，或②
x＜0
-x-2x3-4x2=0
．分别解①、②求得x的值，可得函数f（x）的零点．
（2）当a＞0时，若x≥0，化简函数f（x）的解析式为
x(1-ax2-2ax)
x+2
．令f（x）=0，求得f（x）在（0，+∞）上有唯一零点，命题得证．
解答：解：（1）当a=2时，函数f（x）=
|x|
x+2
-2x2=
|x|- 2x2(x+2)
x+2
，
令|x|-2x2（x+2）=0，可得 ①
x≥0
x-2x3-4x2=0
，或②
x＜0
-x-2x3-4x2=0
．
解①可得 x=0，x=
6
2
+1，或x=
6
2
-1．
解②可得 x=
2
2
-1．
综上可得，当a=2时，函数f（x）的零点为 x=0，x=
6
2
+1，或x=
6
2
-1，或 x=
2
2
-1．
（2）证明：∵当a＞0时，若 x≥0，则函数f（x）=
|x|
x+2
-ax2=
x
x+2
-ax2 =
x(1-ax2-2ax)
x+2
．
令f（x）=0，可得x（1-ax2-2ax）=0，解得 x=0，或 x=-1+
2
，或x=-1-
2
（舍去）．
∴函数f（x）在（0，+∞）上有唯一零点x=-1+
2
．
点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），则称f（x）为C上的t低调函数．如果定义域为[0，+∞）的函数f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）为[0，+∞）上的10低调函数，那么实数m的取值范围是（　　）
A、[-5，5]
B、[-
5
，
5
]
C、[-
10
，
10
]
D、[-
5
2
，
5
2
]
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）恒成立；当x∈[0，1]时，f（x）=x3-4x+3．有下列命题：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②当x∈[-1，0]时f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列；
④关于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7个不同的根．
其中真命题的个数为（　　）
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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